数位dp-P2518 [HAOI2010]计数

本文针对洛谷在线评测系统中的一道数位DP题目进行详细解析,介绍了如何通过组合数学的方法来解决这类问题,特别是如何计算特定数字排列的问题。文章深入探讨了使用C语言实现的高精度计算技巧。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2518
对于一个数,把其中的0删掉,相当于把0放到了前面;
所以这个问题就是让我们求一下给我们的数的全排列比当前小的有几个;
我们假设a[i]代表数字i 0~9有几个;
那么用这些来表示全排列
(a[0]+a[1]+…+a[9])!/a[0]!/a[1]!/…/a[9]!;
当然如果a[i]==0那么不参与运算;
但是这样的话,longlong表示存不下;
所以我们要用高精度
所以我们在想想;
假如现在有m个位置;
我们先把0放法放好
C(m,a[0]);
之后就只有m-a[0]个位置;
然后在放1
C(m-a[0],a[1]);
所以答案是
C(m,a[0])xC(m-a[0],a[1])x…xC(m-a[0]-a[1]-..-a[8],a[9]);
就可以算全排列;
思路和数位dp差不多;
一位一位向前推进;

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define Ll long long
using namespace std;
Ll CC[1001][1001];
Ll C(Ll n,Ll m){
    if(CC[n][m])return CC[n][m];
    if(m==1)return n;
    if(m==0||m==n)return 1;
    if(m>n)return 0;
    CC[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
    return CC[n][m];
}
int a[10],v[100];
Ll ans;
int n;
char c;
Ll cfb(){
    Ll ans=1;
    int m=n;
    for(int i=0;i<=9;i++)if(a[i])ans*=C(m,a[i]),m-=a[i];
    return ans;
}
int main()
{
    while(cin>>c)if(isdigit(c))v[++n]=c-48,a[v[n]]++;
    int nn=n;
    for(int i=1;i<=nn;i++){
        n--;
        for(int j=0;j<v[i];j++)
        if(a[j]){a[j]--;ans+=cfb();a[j]++;}
        a[v[i]]--;
    }
    printf("%lld",ans);
}
这道题目还可以使用树状组或线段树来实现,时间复杂度也为 $\mathcal{O}(n\log n)$。这里给出使用树状组的实现代码。 解题思路: 1. 读入据; 2. 将原列离散化,得到一个新的列 b; 3. 从右往左依次将 b 列中的元素插入到树状组中,并计算逆序对; 4. 输出逆序对。 代码实现: ```c++ #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> const int MAXN = 500005; struct Node { int val, id; bool operator<(const Node& other) const { return val < other.val; } } nodes[MAXN]; int n, a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN]; long long ans; inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } void update(int x, int val) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) { c[i] += val; } } int query(int x) { int res = 0; for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) { res += c[i]; } return res; } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &a[i]); nodes[i] = {a[i], i}; } std::sort(nodes + 1, nodes + n + 1); int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (i == 1 || nodes[i].val != nodes[i - 1].val) { ++cnt; } b[nodes[i].id] = cnt; } for (int i = n; i >= 1; --i) { ans += query(b[i] - 1); update(b[i], 1); } printf("%lld\n", ans); return 0; } ``` 注意事项: - 在对原列进行离散化时,需要记录每个元素在原列中的位置,便于后面计算逆序对- 设树状组的大小为 $n$,则树状组中的下标从 $1$ 到 $n$,而不是从 $0$ 到 $n-1$; - 在计算逆序对时,需要查询离散化后的列中比当前元素小的元素个,即查询 $b_i-1$ 位置上的值; - 在插入元素时,需要将离散化后的列的元素从右往左依次插入树状组中,而不是从左往右。
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