数位dp-P2518 [HAOI2010]计数

最新推荐文章于 2020-02-07 15:21:14 发布

largecub233

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分类专栏：数位dp 组合数

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本文针对洛谷在线评测系统中的一道数位DP题目进行详细解析，介绍了如何通过组合数学的方法来解决这类问题，特别是如何计算特定数字排列的问题。文章深入探讨了使用C语言实现的高精度计算技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2518
对于一个数，把其中的0删掉，相当于把0放到了前面；
所以这个问题就是让我们求一下给我们的数的全排列比当前小的有几个；
我们假设a[i]代表数字i 0~9有几个；
那么用这些来表示全排列
(a[0]+a[1]+…+a[9])!/a[0]!/a[1]!/…/a[9]!;
当然如果a[i]==0那么不参与运算；
但是这样的话，longlong表示存不下；
~~所以我们要用高精度~~
所以我们在想想；
假如现在有m个位置；
我们先把0放法放好
C(m,a[0]);
之后就只有m-a[0]个位置；
然后在放1
C(m-a[0],a[1]);
所以答案是
C(m,a[0])xC(m-a[0],a[1])x…xC（m-a[0]-a[1]-..-a[8],a[9]）;
就可以算全排列；
思路和数位dp差不多；
一位一位向前推进；

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define Ll long long
using namespace std;
Ll CC[1001][1001];
Ll C(Ll n,Ll m){
    if(CC[n][m])return CC[n][m];
    if(m==1)return n;
    if(m==0||m==n)return 1;
    if(m>n)return 0;
    CC[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
    return CC[n][m];
}
int a[10],v[100];
Ll ans;
int n;
char c;
Ll cfb(){
    Ll ans=1;
    int m=n;
    for(int i=0;i<=9;i++)if(a[i])ans*=C(m,a[i]),m-=a[i];
    return ans;
}
int main()
{
    while(cin>>c)if(isdigit(c))v[++n]=c-48,a[v[n]]++;
    int nn=n;
    for(int i=1;i<=nn;i++){
        n--;
        for(int j=0;j<v[i];j++)
        if(a[j]){a[j]--;ans+=cfb();a[j]++;}
        a[v[i]]--;
    }
    printf("%lld",ans);
}